向量

• **向量：**同时具有大小和方向两个性质的几何对象为向量，记作$\vec{a}$或$\boldsymbol{a}$，数学上通常研究自由向量，不关心向量的起点和终点，只要大小和方向相同，即称两个向量相等。
• **有向线段：**几何上通常用有向线段即带箭头的线段表示向量，记作$\overrightarrow{AB}$。
• **模：**有向线段的长度称为向量的模，记作$|\vec{a}|$或$|\boldsymbol{a}|$。
• **特殊向量：**若$|\vec{a}| = 0$，则$\vec{a}$被称作零向量，记作$\vec{0}$或$\boldsymbol{0}$，方向任意；若$|\vec{a}| = 1$，则$\vec{a}$被称为其方向上的单位向量，通常记为$\vec{u}$。
• **坐标：**代数上通常用向量在各个基方向的投影模长构成的有序数对表示向量，称作向量的坐标，记作$\vec{a} = (a_1, a_2,\dots, a_n)$，在$\R^n$上$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$。在矩阵运算中，向量通常默认为列向量，即$\vec{a} = (a_1, a_2,\dots, a_n) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$。
• **夹角：**设$\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$，则$\angle AOB$为向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角，记作$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$。
• **向量间的关系：**若$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = 0$或$\pi$，则称$\vec{a}$与$\vec{b}$平行或共线，记作$\vec{a} \parallel \vec{b}$；若$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \frac{\pi}{2}$，则称$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a} \perp \vec{b}$。
• **向量的加法：**设$\vec{a} = \overrightarrow{OA} = (a_1, a_2), \vec{b} = \overrightarrow{OB} = (b_1, b_2)$，则$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2), \vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}, \vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$，其中$C(a_1 + b_1, a_2 + b_2)$为$\vec{a}$和$\vec{b}$张成的平行四边形的另一顶点，即向量加法的平行四边形法则。
• **向量的数乘：**设$\lambda \in \R$与$\vec{a}$的乘积记作向量的数乘，记作$\lambda \vec{a}$，$\lambda \vec{a}$与$\vec{a}$共线且$|\lambda \vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|$。
• **向量的点积（数量积）：**设$\vec{a}, \vec{b}$为两个任意向量，$\theta = \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta}$，可以看作$\vec{a}$的模长和$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上投影的模长的乘积。特别地，若$\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n), \vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in \R^n$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \cdots + a_n \cdot b_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i$。
• **向量的叉积（向量积）：**向量的向量积通常是在$\R^3$空间中进行的，设$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \in \R^3$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$的向量积$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j}& \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$，其中$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$为$\R^3$中的三个基向量$\vec{i} = (1, 0, 0), \vec{j} = (0, 1, 0), \vec{k} = (0, 0, 1)$。$\vec{a} \times \vec{b}$是一个向量，当$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线时，设$\theta = \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$，$\vec{a} \times \vec{b}$垂直于$\vec{a}$与$\vec{b}$所确定的平面，方向由右手定则确定，且$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$，即$\vec{a}$和$\vec{b}$张成的平行四边形的面积。特别地，若$\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) \in \R^2$，$\vec{a}$和$\vec{b}$张成的平行四边形的面积为$|a_1 b_2 - a_2 b_1|$。
• 常见的判定方法：
  • $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
  • $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \exist \lambda \in \R, \vec{a} = \lambda \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$
  • $A, B, C$三点共线$\Leftrightarrow \exist \lambda \in \R, \overrightarrow{OB} = \lambda \overrightarrow{OA} + (1 - \lambda) \overrightarrow{OC}$
  • $P$是线段$AB$的中点$\Leftrightarrow$令$A(a_1, a_2, \dots, a_n), B(b_1, b_2, \dots, b_n)$，则$P(\frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}, \dots, \frac{a_n + b_n}{2})$

矩阵

• **矩阵：**由$n$行$m$列元素排成的$n \times m$阵列被称为$n \times m$的矩阵，记作$\mathbf{A}{n \times m}$或$\mathbf{A} = (a{ij}){n \times m}$，第$i$行第$j$列的元素记作$\mathbf{A}{ij}$或$a_{ij}$。所有$n \times m$阶矩阵构成的集合常记做$\mathcal{M}_{n \times m}(\R)$，特别地$n \times n$阶矩阵构成的集合可简称为$n$阶矩阵，简记为$\mathcal{M}_n(\R)$。

  在$n$阶矩阵$\mathbf{A}$中，$\mathbf{A}_{ii}$被称为主对角线，只有主对角线非零的矩阵叫对角矩阵，记做$\mathbf{A} = \operatorname{diag} \{a_1, a_2, \dots, a_n\} = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix}$，特别地，主对角线全为$1$的矩阵叫做单位矩阵，$n$阶单位矩阵记作$\mathbf{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$。

• **矩阵加法：**设$\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathcal{M}_{n \times m}(\R)$，则：

  $$ (\mathbf{A} \pm \mathbf{B}){ij} = \mathbf{A}{ij} \pm \mathbf{B}{ij}, \forall 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m \\ \mathbf{A} \pm \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}{11} \pm \mathbf{B}{11} & \mathbf{A}{12} \pm \mathbf{B}{12} & \cdots & \mathbf{A}{1m} \pm \mathbf{B}{1m} \\ \mathbf{A}{21} \pm \mathbf{B}{21} & \mathbf{A}{22} \pm \mathbf{B}{22} & \cdots & \mathbf{A}{2m} \pm \mathbf{B}{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{A}{n1} \pm \mathbf{B}{n1} & \mathbf{A}{n2} \pm \mathbf{B}{n2} & \cdots & \mathbf{A}{nm} \pm \mathbf{B}_{nm} \\ \end{pmatrix} $$

• **矩阵数乘：**设$\mathbf{A} \in \mathcal{M}_{n \times m}(\R), c \in \R$，则：

  $$ (c\mathbf{A}){ij} = c\mathbf{A}{ij} \\ c\mathbf{A} = \begin{pmatrix} c\mathbf{A}{11} & c\mathbf{A}{12} & \cdots & c\mathbf{A}{1m} \\ c\mathbf{A}{21} & c\mathbf{A}{22} & \cdots & c\mathbf{A}{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c\mathbf{A}{n1} & c\mathbf{A}{n2} & \cdots & c\mathbf{A}_{nm} \\ \end{pmatrix} $$