定理：$\forall A \in \N, A > 1, \exist! \ p_i, a_i \in \Z^+, 满足p_1 < p_2 < \cdots < p_n且p_i为质数, 使得A=\prod_{i=1}^n p_i^{a_i}, 称为A的标准分解$。
**Proof：**首先证明存在性，如果$A$是一个质数，那么显然$A$满足条件；若$A$是一个合数，假设$\forall B < A$均满足条件，根据定义$A$有除$1,A$外的因数，取一个为$a \neq 1, A$，令$b = \frac{A}{a}$，则$b \neq 1, A$，且$a < A, b < A$，由假设：
$$ a = \prod_{i=1}^n p_i^{a_i}, \ b = \prod_{i=1}^m q_i^{b_i} \\ A = ab = (\prod_{i=1}^n p_i^{a_i}) \cdot (\prod_{i=1}^m q_i^{b_i}) $$
将$p_i, q_i$合并同类项，并从小到大排序，即可证明存在性。
下面证明唯一性，假设$A$的分解不唯一：
$$ A = \prod_{i=1}^n p_i^{a_i}=\prod_{i=1}^m q_i^{b_i} $$
则$\forall i \in \Z_n, p_i \mid A=\prod_{i=1}^m q_i^{b_i}$，由$p_i$为质数，$\forall q_i \neq p_i, \gcd(p_i, q_i)=1$，故$\exist j \in \Z_m^+$，使得$p_i = q_j$，同理$\forall j \in \Z_m^+, \exist i \in \Z_n^+, q_j = p_i$，而$p_i, q_i$均从小到大排序，故$n = m, p_i = q_i \ \forall i \in \Z_n^+$。然后$\forall i \in \Z_n^+, p_i^{a_i} \mid A = \prod_{i=1}^n p_i^{b_i}$，推出$p_i^{a_i} \mid p_i^{b_i}$，即$a_i \leq b_i$，同理$b_i \leq a_i$，则$a_i = b_i \ \forall i \in \Z_n^+$，综上可知$A$的分解唯一。$\square$